Statistique inférentielle

Ce cours approfondit les concepts fondamentaux de la statistique mathématique en adoptant un point de vue rigoureux fondé sur la théorie de la mesure et la théorie asymptotique. Il est articulé autour de trois piliers complémentaires qui font la transition entre la statistique paramétrique classique et les approches modernes de la science des données :

Théorie du Maximum de Vraisemblance : l'information de Fisher, régularité des modèles, consistance forte et normalité asymptotique des estimateurs du maximum de vraisemblance (EMV). Cadre multivarié.

Statistique Robuste et Fonctions d'Influence : Introduction aux M-estimateurs, étude de la robustesse locale via la fonction d'influence. Fonctionnelles différentiables et loi limite.

Estimation Non-Paramétrique : Sortie du cadre des modèles de dimension finie. L'accent est mis sur l'estimation de la densité par la méthode des noyaux (KDE), l'étude du compromis biais-variance et la vitesse de convergence minimax.

Démontrer rigoureusement les propriétés asymptotiques des estimateurs (théorème central limite appliqué aux statistiques, méthode Delta) mais surtout les mettre en oeuvre sur des problèmes concrets.

Quantifier la sensibilité d'un estimateur face à des valeurs aberrantes ou à des erreurs de spécification de loi en calculant sa fonction d'influence.

Maîtriser les outils de l'estimation fonctionnelle non-paramétrique, notamment pour l'estimation d'une densité inconnue.

Modalités : Mixte : CC + CT
SESSION 1 :
Contrôle Continu
• Type : Écrit, Dossier
• Durée : --

Contrôle Terminal
• Type : Écrit
• Durée : 2h00

Régime Dérogatoire
• Type : Écrit
• Durée : 2h00

SESSION 2 :
• Type : Écrit
• Durée : 2h00

Utilisation de l'intelligence artificielle :
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• Analyse asymptotique avancée : Savoir manipuler les concepts de convergence en loi, en probabilité et presque sûre appliqués aux suites de variables aléatoires multidimensionnelles.
• Calcul de fonctionnelles statistiques : Être capable de linéariser une statistique à l'aide de sa fonction d'influence pour obtenir sa variance asymptotique.
• Modélisation non-paramétrique : Savoir choisir un noyau K approprié et optimiser le paramètre de lissage par des méthodes théoriques (fenêtre de MISE minimale) ou pratiques (validation croisée).
• Esprit critique face aux modèles : Diagnostiquer les limites d'un modèle paramétrique classique et savoir quand basculer vers une approche robuste ou non-paramétrique.