MI-Algèbre et optimisation S4

Dans une première partie, ce cours prend la suite du cours d’algèbre linéaire du S3 de la Licence MIASHS en continuant l’analyse des endomorphismes et la diagonalisation des matrices. Dans une seconde partie, les notions de produit scalaire, d’espace euclidien, d’orthogonalité  et l’algèbre bilinéaire sur les espaces vectoriels seront décrites, dans le cas des vecteurs à n composantes réelles. Les projections orthogonales, la réduction des matrices et les formes quadratiques sont des outils essentiels des mathématiques appliquées, notamment en statistiques, en systèmes dynamiques et en optimisation.

Ces notions seront ensuite utilisées dans une partie dédiée à l’optimisation des fonctions à plusieurs variables, dans le cas des fonctions continues puis différentiables, avec ou sans contraintes.

Le déterminant est vu comme un outil de calcul (sans théorie sur les formes n-linéaires alternées) en MI-MGS2.

PLAN DÉTAILLÉ : 2h CM/3,5h TD par semaine

• Programme Algèbre (6 semaines)
    1. Valeurs et vecteurs propres 1 semaine
    2. Polynôme caractéristique 0,5 semaine
    3. Diagonalisation de matrices 1,5 semaine
    4. Orthogonalité et projections 1 semaine
    5. Formes quadratiques et diagonalisation des matrices symétriques. 2 semaines
• Programme Analyse (5 semaines)
    6. Rappels sur l'optimisation dans R et R². 0,5 semaine
    7. Optimisation continue sur un compact de R^n. 1 semaine
    8. Optimisation différentiable sur un ouvert de R^n. 1 semaine
    9. Compléments dans le cas convexe. 1 semaine
  10. Optimisation sous contraintes linéaires. 1 semaine

• Programme en algèbre :
   • Valeurs et vecteurs propres, polynôme caractéristique.
   • Diagonalisation de matrices dans R et dans C, trigonalisation dans C.
   • Orthogonalité et projections. Formes quadratiques et diagonalisation des matrices symétriques.
• Programme en analyse :
  • Topologie de Rn, distance euclidienne, boules, parties ouvertes, bornées.
  • Extension du calcul différentiel de R2 à Rn, applications à l’optimisation de fonctions continues et/ou différentiables. Cas des fonctions convexes et concaves.
  • Optimisation sous contraintes linéaires.

Modalités : Mixte : CC + CT
SESSION 1 :
Contrôle Continu
• Type : Écrit
• Durée : --
• Précisions : des épreuves de contrôle continu pendant le semestre (50% de la note)

Contrôle Terminal
• Type : Écrit
• Durée : 2h00
• Précisions : un examen terminal écrit de 2h (50% de la note).

Régime Dérogatoire
• Type : Écrit
• Durée : 2h00
• Précisions : un examen terminal écrit de 2h (100% de la note).

SESSION 2 :
• Type : Écrit
• Durée : 2h00
• Précisions : un examen terminal écrit de 2h (100% de la note).

Utilisation de l'intelligence artificielle :
Pour cet EC, l’usage de l’intelligence artificielle (IA) générative pour aider à la réalisation des travaux soumis à évaluation est interdite, sauf éventuelles exceptions dûment spécifiées par l’enseignant responsable du cours. Dans le cadre de ces éventuelles exceptions, les principes suivants doivent être respectés.

Les résultats fournis par l’IA doivent constituer un matériau pour votre réflexion, et toujours faire l’objet d’une réappropriation et d’une reprise critique.

Tous les usages doivent être documentés dans une section dédiée à la fin de votre travail, à l’exception des usages de recherche web augmentée, de correction orthographique et syntaxique. Cette section doit permettre à votre lecteur d’évaluer la manière dont vous avez travaillé avec l’IA et mobilisé cette ressource au service d’un travail personnel.

L’intégration directe de contenus engendrés par l’IA doit être faite sous le régime de la citation.

Toute utilisation non déclarée ou non autorisée d’un outil d’IA pourra être considérée comme un manquement aux règles d’intégrité académique.

Il est également demandé aux étudiants de ne pas transmettre à des outils d’IA des données confidentielles ou personnelles concernant l’université, les enseignants, les entreprises partenaires ou d’autres étudiants.

• Détermination d’une base orthonormée d’un sous-espace vectoriel et de la matrice de projection orthogonale sur cet espace.
• Détermination des valeurs et vecteurs propres. Calcul des puissances d’une matrice par diagonalisation.
• Caractérisations d’une matrice symétrique définie positive. Minimisation de la somme de sa forme quadratique associée et d’une forme linéaire.
• Bien différencier les méthodes d'optimisation suivant le domaine : est-il ouvert ? Convexe ? Compact ?