Systèmes dynamiques pour l'économie

Ce cours étudie l’évolution de quantités dépendant du temps, régies par une ou plusieurs relations de récurrence (temps discret), ou bien par une ou plusieurs équations différentielles (temps continu).
L’analyse des problèmes dont la structure est linéaire les réduit à des calculs avec des matrices et des nombres complexes.
Les problèmes non-linéaires, qui échappent à cette analyse ou s’y ramènent, sont illustrés par des exemples.
Pour les équations différentielles autonomes (définies par un champ de vecteur), la validité du principe de linéarisation est explorée.

On discutera notamment des notions suivantes :
• Suites réelles définies par une relation de récurrence ; dans le cas d’un premier membre linéaire, exemples de recherche d’une solution particulière inspirée du second membre ;
• Systèmes récurrents linéaires et puissance de matrices ;
• Systèmes d’équations différentielles linéaires à coefficients constants ;
• Exemples d’équations différentielles non-linéaires proches ou éloignées du cas linéaire ; changement de fonction inconnue (dont la “méthode de variation de la constante”) ;
• Nombres complexes expliquant l’émergence de comportements cycliques ;
• Lien entre la stabilité d’un système d’équations différentielles non-linéaires autonome et celle de son système “linéarisé”.

L’objectif de ce cours est d’étudier des systèmes dynamiques définis par une ou plusieurs relations de récurrence, par une équation différentielle ou par un système d’équations différentielles.

Ce cours a pour vocation d’atteindre un niveau en mathématique requis dans certaines formations de Master ayant une forte composante d’analyse quantitative.

Modalités : Mixte : CC + CT
SESSION 1 :
Contrôle Continu
• Type : Écrit
• Durée :
• Précisions : Des épreuves de contrôle continu pendant le semestre (50% de la note)

Contrôle Terminal
• Type : Écrit
• Durée :
• Précisions : Un examen terminal écrit (50% de la note).

Régime Dérogatoire
• Type : Écrit
• Durée : 2h00
• Précisions : Un examen terminal écrit (100% de la note).

SESSION 2 :
• Type : Écrit
• Durée : 2h00
• Précisions : Un examen terminal écrit (100% de la note).

Utilisation de l'intelligence artificielle :
Le recours à l’IA est strictement interdit en vertu de la charte des examens qui prévoit que "pour les épreuves en présentiel : l’usage de téléphones portables, d’objets connectés, de casques audio, d’écouteurs ou de tout autre moyen de communication, même à l’usage d’horloge, permettant notamment la consultation de documents non autorisés et/ou la communication avec une tierce personne, est strictement interdit".

• Suites : les suites géométriques, et plus généralement arithmético-géométriques.
• Fonctions : la dérivation des fonctions d’une variable réelle, la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques.
• Matrices (niveau L2) : le calcul matriciel et la diagonalisation des matrices à coefficients réels.
• Vecteurs (niveau L2) : les combinaisons linéaires et les bases d’un sous-espace vectoriel de R^n.

• Reconnaître si des relations de récurrence et des équations différentielles, éventuellement couplées, sont linéaires.
• Utiliser la structure linéaire de l’ensemble des solutions de ces équations pour le décrire au moyen d’une base.
• Résoudre une équation de ce type dans des situations simples, y compris avec second membre.
• Écrire un système de telles équations sous forme matricielle et le résoudre en exploitant les éléments propres de la matrice.
• Étudier la stabilité d’un système linéaire homogène à coefficients constants (récurrent ou différentiel).
• Étudier la stabilité locale d’un système d’équations différentielles non-linéaires (et la stabilité globale dans le cas 2x2).
  

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